職高均值定理課件

    時(shí)間:2021-03-19 08:30:47 課件 我要投稿

    職高均值定理課件

      均值定理又叫基本不等式,是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn),在日后的函數(shù)求最值問(wèn)題中有十分頻繁的應(yīng)用。以下是小編整理的職高均值定理課件,歡迎閱讀。

    職高均值定理課件

      復(fù)習(xí)目標(biāo)

      1.掌握均值定理.

      2.會(huì)用均值定理求最值和證明不等式.

      3.會(huì)解不等式的應(yīng)用題.

      知識(shí)回顧

      均值定理及重要不等式:

      一.均值定理:

      ,其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);

      注:注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件:

      (1);(2)與的積是一個(gè)定值(正數(shù));(3)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

      記憶時(shí)可記為一“正”、二“定”、三“等”.

      二、重要不等式

      (1);

      (2), 其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

      三.例題精解

      【例1】 (1)如果,則的最大值是 ;

      (2)如果,則的最小值是 .

      分析:兩題顯然都可以用均值定理求解.

      解:(1)

      當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值4.

      (2)

      當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值6.

      【點(diǎn)評(píng)】(1)若,且(常數(shù)),則;

      (2)若,且(常數(shù)),則.

      【例2】 當(dāng)時(shí),求的最大值.

      分析:由于為定值,且依題意有,故可用均值定理,求最值.

      解:∵,∴

      當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí),取最大值8.

      【例3】當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值.

      分析: ,由于為定值,且依題知,故可用均值定理求最值.

      解:∵,∴

      當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最小值3.

      【例4】求函數(shù)的最小值,下列解法是否正確?為什么?

      解法一:

      ∴

      解法二:,當(dāng),即時(shí),

      ∴

      答:以上兩種解法均有錯(cuò)誤。解一錯(cuò)在取不到“=”,即不存在使得;解二錯(cuò)在不是定值(常數(shù)).

      正確的解法是:

      當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),

      【點(diǎn)評(píng)】(1)用求最值時(shí)需要同時(shí)滿(mǎn)足如下三個(gè)條件:

      ①;

      ②為常數(shù);

      ③“=”可取.

      (2)注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件:一“正”、二“定”、三“等” .

      (3)利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí),關(guān)鍵在于構(gòu)造條件,使其積為常數(shù).通常要通過(guò)添加常數(shù)、拆項(xiàng)(常常是拆低次的式子)等方式進(jìn)行構(gòu)造.

      【例5】若正數(shù)滿(mǎn)足,求的最小值.

      解:∵ ,

      當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最小值.

      【例6】將一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮,剪去四個(gè)角(四個(gè)全等的正方形),做成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒,要使其容積最大,剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少?最大容積是多少?

      解:設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為

      則其容積為

      當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),

      所以當(dāng)剪去的.小正方形的邊長(zhǎng)為時(shí),鐵盒的容積最大為.

      同步訓(xùn)練

      1.為非零實(shí)數(shù),那么不等式恒成立的是( )

      A. B. C. D.

      2.設(shè)則下列不等式成立的是( )

      A. B. C. D.

      3.如果>0,則≥ .

      4.如果,則的最大值是 .

      5.如果,則的最小值是 .

      6.如果,則的最小值是 .

      7.已知,函數(shù)的最小值是 .

      8.已知,函數(shù)的最大值是 .

      9.已知,函數(shù)的最大值是 .

      10.已知,函數(shù)的最小值是 .

      11.若,,,則的最大值是 .

      12.當(dāng)時(shí),求的最小值, 并求此時(shí)的取值.

      13.已知,求的最小值, 并求此時(shí)的取值.

      14.已知:,求的最大值,并求此時(shí)的取值.

      15.當(dāng)時(shí),求的最小值.

      16.用鐵皮做圓柱形的密封式罐頭瓶,要求它的體積為定值V,問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)底面圓的半徑和它的高,才能使用料最省.

      17.制作一個(gè)容積為的圓柱形容器(有底有蓋),問(wèn)圓柱底半徑和高各取多少時(shí),用料最省?(不計(jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料)


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