八年級數學全等三角形及其性質教學計劃
教學目標：
1.(1)掌握角平分線的尺規作圖方法;理解過直線上一點作這條直線的垂線的尺規作圖原理;(2)理解并掌握角的平分線的性質定理。(3) 會運用角平分線的性質進行推理論證，解決相關的幾何問題;(4)進行數學活動的過程中，能進行有條理地思考，形成簡單的推理能力; (5)使學生經歷探索角平分線的性質的過程，領會用操作、歸納、推理論證得出數學結論的思想方法。
教學重點：角平分線的尺規作圖及角平分線的性質及其應用。
教學難點：角平分線的尺規作圖方法的提煉與角平分線性質的靈活應用。
教學過程：
活動一、知識回顧
1、不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法?再打開紙片 ，看看折痕與這個角有何關系?
2、請敘述角平分線的定義。
活動二、情景引入
如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?
證明：在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
∵ DC=BC(已知)
CA=CA(公共邊)
∴ △ACD≌△ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的對應角相等)
∴AC平分∠DAB(角平分線的定義)
活動三、新知探究
一、根據角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線?(不用角平分儀或量角器，要求尺規作圖)
二、怎樣用尺規作圖方法作已知直線的垂線?(過這條直線上一點)
(1)平分平角∠AOB(如下圖所示)
(2)通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD,直線CD與直線AB是什么關系?
(3)結論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。
三、探究角平分線的性質
1、已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E,PD與PE有何關系?并證明。
解：PD與PE相等。證明如下：
∵OC平分∠AOB(已知)
∴∠1=∠2 (角平分線的定義)
∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)
∴∠PDO=∠PEO (垂直的定義)
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO (已證)
∵ ∠1=∠2 (已證)
OP=OP (公共邊)
∴△PDO≌△PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的對應邊相等)
2、由此得到角平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等。
3、利用此性質怎樣書寫推理過程?
∵OC平分∠AOB,點P在OC上，且 PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
∴PD=PE(角的平分線上的點到角兩邊的距離相等)
活動四、例題講解
例。已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.
求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等
證明：過點P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，
垂足為D、E、F
∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上
∴PD=PE (角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)
同理：PE=PF.∴ PD=PE=PF.
即點P到邊AB、BC、CA的距離相等
活動五、實踐應用
1.如圖：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E,F在AC上，BD=DF.求證：CF=EB
分析：要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個三角形全等，即Rt△CDF≌Rt△EDB.
現已有一個條件BD=DF，還需要我們找什么條件?
注意到題設條件：AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E, ∠C=90°故有：DC=DE (角平分線的性質)
進而可用HL證明上述兩個直角三角形全等
證明：∵∠C=90°∴DC⊥AC
又∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E
∴∠DEB=90°，DC=DE(角平分線的性質)
在Rt△CDF和Rt△EDB中
DF=DB(已知)
∵
DC=DE(已證)
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)
∴ CF=EB(全等三角形的對應邊相等)
2、已知：如右下圖，在△ABC中，AD是它的.角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.
求證：EB=FC.
證明：∵AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定義)
DE=DF(角平分線的性質)
在Rt△DEB和Rt△DFC中
BD=CD
∵
DE=DF
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)
∴EB=FC(全等三角形的對應邊相等)
3.已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線BD與CE相交于點P.
求證：點P到三邊AB,BC,CA所在直線的距離相等。
證明：作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H.
又∵△ABC的兩個外角的平分線BD與CE相交于點P
∴PG=PF , PF=PH(角平分線的性質)
即PG=PF=PH
∴點P到三邊AB,BC,CA所在直線的距離相等。
活動六、歸納總結
1、定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。
2、定理的使用形式：
∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等)。
尺規作圖：①作已知角的平分線;②過直線上一點作這條直線的垂線。
作業布置： 1.預習課本P21～P23
2.完成課本P22T2，P23T4，5
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